Mathématiques financières

Si on veut faire un crédit placer de l'argent...


Sources: http://www.les-suites.fr/



Sommaire  





Les intérêts composés





Placements égaux successifs à intérêts composés





Amortissement d'un emprunt par annuités





Epargne mensuelle





Le taux nominal et taux actuariel dans un crédit




Les intérêts composés

Quand un capital est placé à intérêts composés, l'intérêt produit à la fin de la première année est ajouté au capital, ce qui forme un deuxième capital qui produit un intérêt pendant la deuxième année.

Cet intérêt ajouté à son capital forme un troisième capital qui produit un intérêt pendant cette troisième année; cet intérêt s'ajoute à son capital et ainsi de suite.
De là nous allons déduire une expression très simple pour la valeur acquise par un capital placé à intérêts composées.
Rappelons d' abord cette règle :
pour trouver la valeur acquise par un capital, après qu' il a été augmenté de son intérêt au bout d'un an, on multiplie ce capital par 1 augmenté de l'intérêt de 1 € au bout de 1 an.
Soit un capital de 862 € placé à 5%.
Les intérêts de 1€ au bout de 1 an étant de 0,05 €, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,05 € et un capital de 862€ vaut 862 multiplié par 1,05 c' est à dire :
862 × 1,05
ce qui démontre la règle énoncée.
Soit maintenant un capital C placé pendant 5 ans. Prenons pour le taux , non pas l'intérêt pour 100 €, mais celui de 1€ et soit r l'intérêt annuel de 1€.
Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital C est de :
C × ( 1 + r ).
Ce nouveau capital au bout de la deuxième année prend une valeur égale à :
C × ( 1 + r ) × ( 1 + r ) ou C × ( 1 + r )2.
Ce dernier capital au bout de la 3ème année prend une valeur égale à :
C × ( 1 + r )2; × ( 1 + r ) ou C × ( 1 + r )3.
On voit, sans répéter ces explications, que la valeur serait :
au bout de la 4ème année, C × ( 1 + r )4;
au bout de la 5ème année, C × ( 1 + r )5 .
De là la règle :

pour trouver la valeur acquise par capital placé à intérêts composés, au bout d'un certain nombre d'années, il faut multiplier ce capital par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre d'années.

Si on représente par n le nombre des années et par A la valeur acquise par le capital C, la règle précédente est exprimée par cette formule :
A = C × ( 1+ r )n. [ i ]
Par exemple, la valeur la valeur acquise par 862€ au bout de 5 années à 4% serait
862 × 1,045 = 1048,75.


Calcul de la valeur aquise par le capitale




    Capital de départ(C)


   Taux d'intérêts annuel proportionnel en %(r)


    Nombre d'années(n)







CONSEQUENCES
La formule [ i ] permet de résoudre trois autres problèmes.
1 °) Pour trouver le capital qui a pris une valeur connue au bout d'un certain nombre d'années, il faut diviser cette valeur par 1 augmenté de l'intérêt annuel de 1 €, élevé à une puissance d'un degré marqué par le nombre des années.
En effet, de la formule [ i ] on tire :
C = A / ( 1 + r )n.
Soit par exemple trouver le capital qui au bout de 5 ans et au taux de 4% a pris une valeur de 1048,70€.
On aura
C = 1048,70 / 1,045 = 862.
2°) Trouver le taux r auquel un capital C a pris au bout de n années une valeur A.
De la formule [i] on tire
( 1 + r )n = A/C d' où r + 1 = (A/C)1/n
Soit à trouver le taux auquel un capital de 862€ qui au bout de 5 ans a pris une valeur de 1048,70€. On aura,

r = (1048,70 / 862)1/5 − 1 = 0,04.
3°) Trouver le nombre d' année n au bout duquel un capital de 862€ a pris une valeur égale à 1048,70, le taux étant de 4%.
On a d' abord
( 1 + r )n = A/C
n log ( 1+ r ) = log A − log C
d' où l' on tire n = ( log A − log C ) / log ( 1 + r ).
REMARQUES
Si on demandait au bout de combien d'années un capital C a été doublé au taux de r, il faudrait remplacer A par 2C dans la formule [ i ]. On aurait ainsi
2C = C × ( 1 + r )n
d' où 2 = ( 1 + r )n.
De là on tire,
n log ( 1 + r ) = log 2
n = log 2 / log ( 1+ r ).
A 5% le capital est doublé au bout de 14 ans 2 mois et demi.

Placements égaux successifs à intérêts composés

Un homme dépose au commencement de chaque année une somme de 2050€ pendant 15 ans; quel est le capital qui lui sera dû au bout de ce temps, les intérêts étant composés au taux de 4,5% ?
Les valeurs acquises à l' époque du remboursement par les placements annuels sont :
pour la 1ere, 2050 × 1,04515
pour la 2éme, 2050 × 1,04514
pour la 3éme, 2050 × 1,04513
...
pour la 14éme, 2050 × 1,0452
pour la 15éme, 2050 × 1,045
La somme due à cet homme au bout de 15 ans est le total de ces valeurs, c' est à dire
2050 × 1,04515 + 2050 × 1,04514 + ... ... + 2050 × 1,0452 + 2050 × 1,045
ou en mettant 2050 × 1,045 en facteur commun,
2050 × 1,045 ( 1,04514 + 1,04513 + ... ...+ 1,045 + 1 ).
La quantité entre parenthèses est la somme des termes d'une progression géométrique, dont la raison est 1,045; cette quantité est égale à
( 1,04515 − 1) / (1,045 − 1) ou (1,04515 − 1) / 0,045.
En désignant par S la somme due au déposant, on aura
S = 2050 × 1,045 × (1,04515 − 1) / 0,045.
Soit S = 42 607,31 €.
FORMULE d'un placements égaux successifs :
- Si on désigne par a le versement annuel, r le taux annuel par € et n le nombre des années. Le capital S constitué par les placements annuels est exprimé par la formule:
S = a × ( 1 + r ) × [ ( 1 + r )n − 1 ] / r
ou encore :

 formule de somme d'un placement annuel.

Amortissement d'un emprunt par annuités

Pour plus de clarté, nous traiterons le problème suivant :
Une ville emprunte 185000€ qu'elle doit rembourser en 5 paiements annuels égaux, dont le premier aura lieu un an après l'emprunt, le taux de l'intérêt étant 4,50%. Quelle est la somme à payer chaque année ?
 L'intérêt de 1€ au bout de 1 an étant de 0,045€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,045 €.
Au bout de la première année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C1 est égal à au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l'annuité, que nous nommerons a, soit :
C1 = C × 1,045 − a.
Au bout de la deuxième année, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C2 est égal à C1 multiplié par 1,045 auquel il faut retrancher l'annuité a, soit :
C2 = C1 × 1,045 − a.
Et donc en remplaçant C1 par (C × 1,045 − a),
C2 = ( C × 1,045 − a ) × 1,045 − a
C2 = C × 1,0452 − a × 1,045 − a.
Au bout de la troisième années, on peut établir que C3 est égale à,
C3 = C × 1,0453 − a × 1,0452 − a × 1,045 − a.
Au bout de la quatrième années, on peut établir que C4 est égale à,
C4 = C × 1,0454 − a × 1,0453 − a × 1,0452 − a × 1,045 − a.
Au bout de la cinquième année, nous aurions,
C4 = C × 1,0455 − a × 1,0454 − a × 1,0453 − a × 1,0452 − a × 1,045 − a
sauf que le capital restant du au bout de la cinquième année, doit être égale à 0.
Nous obtenons donc,
C × 1,0455 − a × 1,0454 − a × 1,0453 − a × 1,0452 − a × 1,045 − a = 0.
Ou encore, en mettant en facteur l'annuité a,
C × 1,0455 − a ( 1,0454 + 1,0453 + 1,0452+ 1,045 + 1 ) = 0.
Le facteur ( 1,0454 + 1,0453 + 1,0452+ 1,045 + 1 ) est la somme des termes d'une suite ( ou progression ) géométrique, dont la raison est 1,045; cette somme est égale à :
( 1,0455 − 1 ) / ( 1,045 − 1 ) ou ( 1,0455 − 1 ) / 0,045.
On a donc l' équation,
C × 1,0455 − a ( 1,0455 − 1 ) / 0,045 = 0.
De là on tire,
a = C × 1,0455 / [ ( 1,0455 − 1 ) / 0,045 ]
ou
a = C × 0,045 × 1,0455 / ( 1,0455 − 1 ).
Soit pour notre exemple,
a = 185 000 × 0,045 × 1,0455 / ( 1,0455 − 1 )
a = 42 141,45 euros .
Formule de l'annuité
Si on désigne par a l'annuité, par C le capital emprunté, r le taux annuel par € et n le nombre des années, on aura la formule générale de l'annuité :
a = C × r × ( 1 + r )n / [ ( 1 + r )n − 1 ]
ou encore :

formule de l'annuité.

Epargne mensuelle

Calcul du capital acquis.

FORMULE - Si on désigne par a le versement mensuel, r le taux mensuel par € et n le nombre de mois. Le capital S constitué par les placements mensuels est exprimé par la formule :
S = a × ( 1 + r ) × [ ( 1 + r )n − 1 ] / r
ou encore :

formule de somme d'un placement annuel (i).

Calculons quel versement mensuel il faut effectuer sur 10 ans pour obtenir la somme de 50000€, au taux nominal de 3% à l'année soit un taux mensuel de 0,25%.
de (i) on obtient :
a = Sr / (1+r)[(1+r)n − 1],
tout calcul fait pour obtenir la somme de 50000€, au bout de 10 ans au taux de 3% à l'année, il faut effectuer des versements de 356,91€.

Amortissement par mensualités - cas d'un crédit immobilier

La principale difficulté de passer à l'étude d'un amortissement par annuité, à un amortissement par mensualité, c'est que cela met en jeu beaucoup plus de terme. En effet le fait de passer des années au mois multiplie le nombre de terme par 12.
Pour plus de clarté, nous traiterons l'exemple courant d'un emprunt immobilier suivant.

 Une personne emprunte la somme 185000€ qu'elle doit rembourser en 240 paiements mensuels égaux (soit 20 ans), dont le premier des paiements aura lieu un mois juste après l'emprunt, le taux nominal de l'intérêt étant 4,50% par an. Quelle est la somme à payer chaque mois ?
L'intérêt mensuelle de 1€ est égale à 1/12ème de l'intérêt nominal annuel, c'est-à-dire
0,045 / 12 = 0,00375.
L'intérêt de 1€ au bout de 1 mois étant de 0,00375€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,00375 €.
Au bout du premier mois, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C1 est égale à au capital emprunté, que nous nommerons C, multiplié par 1,00375 auquel il faut retrancher la mensualité, que nous nommerons m, soit :
C1 = C × 1,00375 − m.
Au bout du deuxième mois, la valeur acquise par le capital, que nous nommerons C2 est égale à C1 multiplié par 1,00375 auquel il faut retrancher la mensualité m, soit :
C2 = C1 × 1,00375 − m.
Soit en remplaçant C1 par C × 1,00375 − m,
C2 = ( C × 1,00375 − m ) × 1,00375 − m
C2 = C × 1,003752 − m × 1,00375 − m.
Au bout du troisième mois, on peut établir que C3 est égale à,
C3 = C × 1,003753 − m × 1,003752 − m × 1,00375 − m.
etc ...
Au bout du 240e mois, nous aurions,
C240 = C × 1,00375240 − m × 1,00375239 − ... ... − m × 1,003752 − m × 1,00375 − m.
sauf que le capital restant du au bout des 240 mois doit être égale à 0.
Nous obtenons donc,
C × 1,00375240 − m × 1,00375239 − ... ... − m × 1,003752 − m × 1,00375 − m = 0.
Ou encore, en mettant en facteur la mensualité m,
C × 1,00375240 − m (1,00375239 + ... ... +1,003752 +1,00375 +1) = 0.
Le facteur (1,00375239+ ... ... +1,003752 +1,00375 +1) est la somme des termes d'une suite géométrique, dont la raison est 1,00375; cette somme est égale à :
(1,00375240 −1) / (1,00375 − 1) ou (1,00375240 − 1) / 0,00375.
On a donc l' équation,
C × 1,00375240 − m (1,00375240 − 1) / 0,00375 = 0.
De là on tire,
m = C × 1,00375240 / [ (1,00375240 − 1) / 0,00375 ]
ou
m = C × 0,00375 × 1,00375240 / (1,00375240 − 1). [ i ]
Soit pour notre exemple,
m = 185 000 × 0,00375 × 1,00375240 / (1,00375240 −1)
m = 1 170,40€.
Soit un coût total hors assurance de,
240 × 1170,40 − 185000 = 95860€.
Formule de la mensualité d'un emprunt
La formule [ i ] peut se généraliser de la façon suivante :
soit t le taux d'intérêt mensuel, n le nombre de mois de l'emprunt et C le capital emprunté, on a alors la mensualité m qui est égale à
m = C × t × ( 1 + t )n / [ ( 1 + t )n − 1 ]
ou encore

 la formulte de la mensualité d'un emprunt,

on préféra bien sur la dernière forme.

Calcul de mensualites d'emprunts






   Capital emprunte(C)


   Taux d'interets annuel proportionnel en %(12xt)


   Nombre de mensualites(n)







Le taux nominal et taux actuariel dans un crédit

Le taux nominal annuel donné par les banques pour un emprunt immobilier, ne correspond pas au taux équivalent annuel du taux mensuel.
 Lorsque votre banquier vous annonce que le taux de l'emprunt qu' il vous propose est égal à 4,5%, cela signifie que le taux mensuel de votre emprunt est égal à 4,5/12 soit 0,375% par mois.
l'intérêt de 1€ au bout de 1 mois étant de 0,00375€, un capital de 1€ prend une valeur égale à 1,00375 €.
Au bout d'une année, soit 12 mois, les intérêts seront de ( voir la partie intérêts composés du site ) de :
1,0037512 − 1 = 0,04593.
Le taux équivalent à l'année est donc de 4,59%.
Le taux équivalent à l'année est le taux actuariel, qui sert de base au calcul du taux effectif auquel il faudra encore ajouté les frais de dossier et les frais d' assurance.
Dans cette exemple, l' écart entre le taux nominal 4,5% et le taux actuariel 4,59% n'est pas si grand.
Mais cela est tout autrement si on vous propose un taux nominal de 18% soit 1,5% de taux mensuel.
Généralement on vous annonce que le taux mensuel 1,5% et on laisse le soin au consommateur de faire le calcul pour obtenir le taux nominal de 18% par an.
Mais ce n'est pas encore le taux actuariel, qui lui est obtenu en élevant 1,015 à la puissance 12 en retranchant 1, ce qui donne :
1,01512 − 1 = 1,19561 − 1 = 0,19561
soit un taux réel de 19,56% à l'année.

Exemple d'un crédit à la consommation type révolving.

On obtient avec peu d' efforts des cartes de crédit ouvrant un droit à découvert de 1500€. Pour fixer les idées prenons le taux mensuel de 1,5% précédemment étudiée.
Dans ce genre de crédit on ne calcul pas une mensualité pour un nombre de mois donnés mais on rembourse simplement une certaine somme par mois qui dépend du découvert atteint.
Supposons que le découvert maximal soit 1500€ dans notre exemple. Le consommateur va simplement reconstituer sa réserve de crédit, par exemple, par des remboursements de 45€ par mois.
Si le consommateur souhaite solder complément sa dette, combien de mois va-t-il devoir verser les mensualité de 45€ ?
A partir de la formule sur les mensualités on peut déterminer le nombre de mois. Soit n la seule inconnue dans notre exemple.
m = C × t × / [ 1 − ( 1 + t )−n]
( 1 + t )−n = 1 − C × t / m
( 1 + t )n = m / ( m − C × t )
de là on obtient en passant par les logarithme
n = log [ m / ( m − C × t ) ] / log [ 1 + t ]
soit tout calcul fait n = 46,55 mois et un coût total de 594,75€.
Le consommateur va donc mettre plus de 46 mois soit pratiquement 4 ans à rembourser son emprunt de 1500€.
Rappelons qu'un emprunt à la consommation classique de 1500€ sur 24 mois à un taux de 8% donne des mensualités de 67,84€ soit un coût total de 128,16€.

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